“所有自然数都可以唯一地用不超过 23 个汉字表达” 当然是个伪命题，但是，在一个段子中，它居然被用反证法证实了。证实这个问题的反证法肯定有问题，然而段子里面的反证法听起来太过合理以至于找不出漏洞。最终，我曾经花了坐火车的晚上的时间找出了反证法的漏洞，现在把这些内容整理在这里吧。
问题背景
通常来说，自然数（Natural Number）指非负整数，即 \(0, 1, 2, 3 \dots\)。如果严谨一些的话，也可以参考佩亚诺公理（Peano axioms）来定义自然数，不过此公理由于过于严谨超出了本文章的讨论范围。在定义了自然数之后，我们给出如下命题： \[ 对于 \ \forall a \in N，存在长度不超过 \ 23 \ 的汉字字符串，能够唯一地描述自然数 \ a \]
具体解释一下，即给出任意地自然数，我们可以使用一句长度不超过 23 个字的汉语来唯一地描述这个数。例如，给出自然数 1，我们将它描述为 ”一“，或 “第二个自然数”；而对于自然数 97，我们可以将它描述为 “九十七”，也可以描述为 “小于一百最大素数”。对于一个自然数，我们可以用很多种方式把它描述出来，而这个命题的意思是，对于所有的自然数，我们都可以找到一句长度不超过 23 个字的汉语来唯一地描述这个数。
没错，这个命题看起来就是在放 P，我们可以明显地感觉到这个命题是在胡扯，不过接下来的反证法会有些让人感到智商掉线。
通过反证法的证明
反证法（Proof by Contradiction）是一种通过假设在原命题的条件下结论不成立，继而以命题条件为基础推理，获得明显错误的结论，从而说明原假设不成立，命题成立的证明方法。对于上一部分提出的命题，有人提出了一个乍一看无法找出漏洞的反证法。相应的假设如下： \[ 假设存在 \ b \in N，b \ 无法被唯一地通过长度不超过 \ 23 \ 的汉字字符串描述 \] 在这一假设下，使用反证法可推导出如下过程。 \[ \begin{split} & 令这些无法表示的数字构成集合 \ B = \{b_0, b_1, b_2, \dots \} \\ & \because 根据自然数的全序关系，B \ 中存在最小元素 \ b_{min} \\ & \therefore \ b_{min} \ 可用 “最小的不可用不超过二十三个汉字唯一表示的自然数” 来表示 \\ & \therefore 由于 \ b_{min} \ 来自无法表示的集合，这一结论与我们的假设相违背 \\ & \therefore 假设不成立，命题成立，即 “\exists b \in N，b \ 无法被唯一地通过长度不超过 \ 23 \ 的汉字字符串描述” \end{split} \] 至此，我们在原命题的条件下依据我们的假设推出了矛盾，因此原命题成立，即所有自然数都可以背长度不超过 23 的汉字字符串唯一地描述。这个反证法看起来真是太正确了。
推翻反证法
当然，凭着做人的良心，即便这个反证法说的再有道理，我们依然应该认为如上的命题是不成立的，否则，这个被证明的命题说明了可以建立一个从自然数（无限个）到长度不超过 23 的汉字字符串（有限）个的一一映射（Injective function）。也许众多已故数学家会掘开自己的坟跑出来，同时，诸如阿列夫数（Aleph Number）或者连续统假设（Continuum Hypothesis）这样酷酷的东西也都不存在了。为了不让以上的可怕情景发生，我们必须做点什么，以阻止上一部分中的反证法成立。
通过上一段中的内容，我们也大概清楚了，问题出在 “无限” 上，建立一个从无限集合到有限集合的一一映射是荒谬的，这也就成了推翻上一小节中反证法的突破口。汉字是有限的，我们不妨给这个 ”有限“ 来一个量化。 \[ 假设共存在 \ c \ 个汉字，则共存在 \ t = \frac{c^{24} - c}{c - 1} \ 种唯一的长度不超过 \ 23 \ 的汉字字符串 \] 在我们的 ”有限“ 被量化之后，我们的任务就是提供尽可能多的自然数，从而突破这个限制，令之前的反证法产生矛盾。 \[ \begin{split} & 对于反证法中构造的集合 \ B \ 的最小元素 \ b_{min}，考虑 \ b_{min} > t \ 的情况 \\ & \because B \ 包含了所有“无法被唯一地通过长度不超过 \ 23 \ 的汉字字符串表示的数” \\ & \therefore 对于 \ \forall a < b_{min}, a \in N，a \ 都可以被唯一地表示 \\ & \therefore 共消耗了 \ t \ 个长度不超过 23 的汉字字符串来表示 \ b_{min} \ 之前的所有自然数 \\ & \therefore 若使用“最小的不可用不超过二十三个汉字唯一表示的自然数”表示 \ b_{min}，则定与之前冲突 \\ & \therefore 对于 \ b_{min} \ 的表示违背了唯一性的原则，反证法被推翻 & \end{split} \] 虽然否定了此反证法的正确性并不能说明原命题的正确性，但是在此反证法推翻之后，建立一个从无限集合到有限集合的一一映射的一种 ”可行“ 做法被废除了，现代数学的基本得到了暂时的守护。
Highest respect to the mathematicians of our human race.